Импликация и эквивалентность
Известно, что любая логическая формула может быть выражена через три ранее рассмотренные логические операции, однако на практике часто используют еще две логические связки. Первая из них называется импликацией и служит для задания так называемых условных высказываний. В русском языке этой логической операции соответствуют фразы если ..., то ... или когда ..., тогда ... Импликация - двухместная операция: часть формулы до импликации называют основанием условного высказывания, а часть, расположенную за ней - следствием. В логических формулах импликация обозначается знаком ->. Операция A -> B определяет логическую функцию, тождественно совпадающую с функцией !A || B.
Пример
Дано сложное высказывание: "Если выглянет солнце, то станет тепло". Требуется записать его в виде логической формулы. Обозначим через А простое высказывание "выглянет солнце", а через В - "станет тепло". Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A -> B.
Другой распространенной операцией является эквивалентность. Ее аналог в разговорной речи - фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда ... или если и только если ... Для ее обозначения используется символ <-> или просто =. Мы будем использовать для обозначения эквивалентности обе эти формы. Отметим, что логическая формула A <-> B эквивалентна формуле (A -> B) && (B -> A).
Пример
Дано сложное высказывание: "В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен тогда и только тогда, когда он сдан". Нужно преобразовать высказывание к логической формуле. Обозначим через А простое высказывание "В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен", а через В - "Экзамен сдан". Тогда логическая формула сложного высказывания запишется в виде A <-> B.
Приведем таблицу истинности, задающую операции импликации и эквивалентности:
| A | B | A -> B | A <-> B |
| T | T | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | F |
| F | F | T | T |
Рассмотренные нами логические операции в порядке убывания приоритетов располагаются так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.
